Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений. Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей.
Выберите событие со взаимоисключающими результатами. Вероятность можно рассчитать лишь в том случае, если рассматриваемое событие либо происходит, либо не происходит. Нельзя одновременно получить какое-либо событие и противоположный ему результат. Примером таких событий служат выпадение 5 на игровом кубике или победа определенной лошади на скачках. Пять либо выпадет, либо нет; определенная лошадь либо придет первой, либо нет.
Определите все возможные события и результаты, которые могут произойти. Предположим, необходимо определить вероятность того, что при броске игрового кубика с 6 цифрами выпадет тройка. «Выпадение тройки» является событием, и поскольку мы знаем, что может выпасть любая из 6 цифр, число возможных исходов равно шести. Таким образом, мы знаем, что в данном случае есть 6 возможных результатов и одно событие, вероятность которого мы хотим определить. Ниже приведено еще два примера.
Поделите число событий на количество возможных исходов. Таким образом вы определите вероятность одиночного события. Если мы рассматриваем случай выпадения 3 при бросании кубика, число событий равно 1 (тройка находится лишь на одной грани кубика), а общее количество исходов равно 6. В результате получаем соотношение 1/6, 0,166, или 16,6 %. Вероятность события для двух приведенных выше примеров находится следующим образом:
Сложите вероятности всех возможных событий и проверьте, получится ли в сумме 1. Суммарная вероятность всех возможных событий должна составлять 1, или 100 %. Если у вас не получится 100 %, скорее всего, вы допустили ошибку и пропустили одно или несколько возможных событий. Проверьте свои вычисления и убедитесь, что вы учли все возможные исходы.
Представьте вероятность невозможного исхода в виде 0. Это означает, что данное событие не может произойти, и его вероятность равна 0. Таким образом вы сможете учесть невозможные события.
При рассмотрении независимых событий вычисляйте каждую вероятность отдельно. После того как вы определите, каковы вероятности событий, их можно будет рассчитать отдельно. Предположим, необходимо узнать вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5. Мы знаем, что вероятность выпадения одной пятерки составляет 1/6, и вероятность выпадения второй пятерки также равна 1/6. Первый исход не связан со вторым.
Учитывайте влияние предыдущих исходов при расчете вероятности для зависимых событий. Если первое событие влияет на вероятность второго исхода, говорят о расчете вероятности зависимых событий . Например, если вы выбираете две карты из колоды, состоящей из 52 карт, после взятия первой карты состав колоды изменяется, что влияет на выбор второй карты. Чтобы рассчитать вероятность второго из двух зависимых событий, необходимо вычесть 1 из количества возможных результатов при расчете вероятности второго события.
Перемножьте вероятности каждого отдельного события. Независимо от того, имеете ли вы дело с независимыми или зависимыми событиями, а также количества исходов (их может быть 2, 3 и даже 10), можно рассчитать общую вероятность, умножив вероятности всех рассматриваемых событий друг на друга. В результате вы получите вероятность нескольких событий, следующих одно за другим . Например, стоит задача Найти вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5 . Это два независимых события, вероятность каждого из которых равна 1/6. Таким образом, вероятность обоих событий составляет 1/6 x 1/6 = 1/36, то есть 0,027, или 2,7 %.
Мы уже знаем, что вероятность – это численная мера возможности наступления случайного события, т.е. события, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. При изменении совокупности условий вероятность случайного события может измениться. В качестве дополнительного условия мы можем рассмотреть наступление другого события. Итак, если к комплексу условий, при котором происходит случайное событие А , добавить еще одно, состоящее в наступлении случайного события В , то вероятность наступления события А будет называться условной.
Условная вероятность события А - вероятность появления события А при условии, что произошло событие В. Условная вероятностьобозначается (A ).
Пример 16. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что случайным образом вынимают один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что, второй вынутый шар – черный, если при первом извлечении достали белый шар?
Решение.
Перед нами два случайных события: событие А – первый вынутый шар оказался белым, В – второй вынутый шар - черный. А и В несовместные события, воспользуемся классическим определением вероятности. Число элементарных исходов при извлечении первого шара – 12, а число благоприятных исходов достать белый шар – 7. Следовательно, вероятность P(А) = 7/12.
Если первый шар оказался белым, то условная вероятность события В - появления второго черного шара (при условии, что первый шар был белым) - равна (В) = 5/11, так как перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из которых 5 черных.
Отметим, что вероятность появления черного шара при втором извлечении не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вынув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик.
Рассмотрим два случайных события А и В. Пусть вероятности P(А) и (В) известны. Определим, чему равна вероятность появления и события А, и события В, т.е. произведения этих событий.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при том условии, что первое событие произошло:
Р(А× В) = Р(А)× (В) .
Так как для вычисления вероятности произведения не играет роли какое из рассмотренных событий А и В было первым, а какое вторым, то можно записать:
Р(А× В) = Р(А) × (В) = Р(В) × (А).
Теорему можно распространить на произведение п событий:
Р(А 1 А 2 . А п) = Р(А х) Р(А 2 /А 1) .. Р(А п /А 1 А 2 ... А п-1).
Пример 17. Для условий предыдущего примера вычислить вероятность извлечения двух шаров: а) белого шара первым, а черного вторым; б) двух черных шаров.
Решение.
а)Из предыдущего примера мы знаем вероятности достать из ящика белый шар первым и черный шар вторым, при условии, что первым извлекли белый шар. Для подсчета вероятности появления обоих событий вместе воспользуемся теоремой умножения вероятностей: Р(А× В) = Р(А) × (В)= 
.
б) Аналогично рассчитаем вероятность вынуть два черных шара. Вероятность достать первым черный шар .
Вероятность достать черный шар во второй раз при условии, что первый вынутый черный шар мы не опускаем обратно в ящик
(черных шаров осталось 4, а всего шаров стало 11). Результирующую вероятность можно подсчитать по формуле Р(А×В)= Р(А) × (В)
0,152.
Теорема умножения вероятностей имеет более простой вид, если события А и В независимые.
Событие В называют независимым от события А, если вероятность события В не изменяется от того, произошло событие А или нет. Если событие В является независимым от события А, то его условная (В) равна обычной вероятности P(В):
Оказывается, что если событие В будет независимым от события А , то и событие А будет независимым от В , т.е. (А)= P(А).
Докажем это. Подставим равенство из определения независимости события В от события А в теорему умножения вероятностей: Р(А×В) = Р(А)× (В)= Р(А)× (В). Но с другой стороны Р(А× В) = Р(В) × (А). Значит Р(А) × (В)= Р(В) × (А) и (А)= P(А).
Таким образом, свойство независимость (или зависимость) событий всегда взаимно и можно дать следующее определение: два события называются независимыми , если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.
Следует отметить, что в основе независимости событий лежит независимость физической природы их происхождения. Это означает, что наборы случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания одного и другого случайного события, различны. Так, например, поражение цели одним стрелком никак не влияет (если, конечно, не придумывать никаких экзотических причин) на вероятность попадания в цель вторым стрелком. На практике независимые события встречаются очень часто, так как причинная связь явлений во многих случаях отсутствует или несущественна.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий: Р(А×В) = Р(А) × P(В).
Из теоремы умножения вероятностей для независимых событий вытекает следующее следствие.
Если события А и В несовместные и P(A)¹0, P(В)¹0, то они зависимы.
Докажем это способом от противного. Предположим, что несовместные события А и В независимы. Тогда Р(А×В) = Р(А) ×P(В). И так как P(A)¹0, P(В)¹0 , т.е. события А и В не являются невозможными, то Р(А×В)¹0. Но, с другой стороны, событие А ž В является невозможным как произведение несовместных событий (это рассматривалось выше). Значит Р(А×В)=0. получили противоречие. Таким образом, наше исходное предположение неверно. События А и В – зависимые.
Пример 18 . Вернемся теперь к нерешенной задаче о двух стрелках, стреляющих по одной цели. Напомним, что при вероятности попадания в цель первым стрелком – 0,8, а вторым 0,7 необходимо найти вероятность поражения цели.
События А и В – попадание в цель соответственно первым и вторым стрелком – совместные, поэтому для нахождения вероятности суммы событий А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком – необходимо воспользоваться формулой: Р(А +В)=Р(А)+ Р(В) –Р(А žВ). События А и В независимые, поэтому Р(А× В) = Р(А) × P(В).
Итак, Р(А +В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × P(В).
Р(А +В)= 0,8 + 0,7 – 0,8×0,7 = 0,94.
Пример 19.
Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором - 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.
1) Обозначим попадание при первом выстреле как событие
А 1 , при втором - как событие А 2 .
Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попадание: или только при первом выстреле, или только при втором, или и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требуется определить вероятность суммы двух совместных событий А 1 и А 2:
Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2)-Р(А 1 А 2).
2) Так как события независимы, то Р(А 1 А 2) = Р(А 1) Р(А 2).
3) Получаем: Р(А 1 + А 2) = 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 = 0,92.
Если события несовместны, то Р(А В) = 0 и Р(А + В) = = Р(А) + Р(В).
Пример 20.
В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?
1) Пусть событие А - извлечение красного шара из урны,
событие В - извлечение синего шара. Тогда событие (А + В)
есть извлечение цветного шара из урны.
2) Р(А) = 3/10, Р(В) = 5/10.
3) События А и В несовместны, так как извлекается только
один шар. Тогда: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,3 + 0,5 = 0,8.
Пример 21.
В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А); 2) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым (событие В); 3) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является черным (событие С)?
1) Р(А) = = 0,7 (см. классическую вероятность).
2)Р В (А) = = 0,(6).
3) Р С (А) = | = 0,(7).
Пример 22.
Механизм собирается из трех одинаковых деталей и считается неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандартных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработоспособным?
1) Обозначим искомое событие через А, выбор первой нестандартной детали через А 1 , второй- через А 2 , третьей - через А 3
2) Событие А произойдет, если произойдет и событие А 1 и событие А 2 , и событие А 3 т. е.
А = А 1 А 2 А 3 ,
так как логическое «и» соответствует произведению (см. раздел «Алгебра высказываний. Логические операции»).
3) События А 1 , А 2 , А 3 зависимы, поэтому Р(А 1 А 2 А 3) =
= Р(А 1) Р(А 2 /А 1) Р(А 3 /А 1 А 2).
4)Р(А 1) = ,Р(А 2 /А 1) = ,Р(А 3 /А 1 А 2)= . Тогда
Р(А 1 А 2 А 3) = 0,022.
Для независимых событий: Р(А В) = Р(А) Р(В).
Исходя из вышеуказанного, критерий независимости двух событий А и В:
Р(А) = Р В (А) = Р (А), Р(В) = Р А (В) =Р (В).
Пример 23.
Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?
1) Пусть С - интересующее нас событие; противоположное событие - состоит в том, что оба стрелка промахнулись.
3) Так как при стрельбе один стрелок не мешает другому, то события и независимы.
Имеем: Р() = Р() Р() = =(1 - 0,9) (1 - 0,8) =
0,1 0,2 = 0,02.
4) Р(С) = 1 -Р() = 1 -0,02 = 0,98.
Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти в результате проявления одного и только одного события Н i (i = 1,2,... n) из некоторой полной группы несовместных событий H 1 , H 2,… H n . События этой группы обычно называют гипотезами.
Формула полной вероятности. Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности данного события А:
Р(А) = 
, где = 1.
Пример 24.
Имеется 3 одинаковые урны. В первой - 2 белых и 1 черный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар, в третьей урне - 2 белых и 2 черных шара. Из выбранной наугад урны выбирается 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероятность выбрать i-ю урну есть
Р(H i) = 1/3, где i = 1, 2, 3.
2) Вероятность вынуть белый шар из первой урны: (А) = .
Вероятность вынуть белый шар из второй урны: (А) = .
Вероятность вынуть белый шар из третьей урны: (А) = .
3) Искомая вероятность:
Р(А) = 
=0.63(8)
Пример 25.
В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых: I - 50%, II - 30%, III - 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I - 2%, П - 2%, III - 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие А)?
1) Здесь возможны следующие три гипотезы: H 1 , H 2, H 3 -
приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, III фабриках; система этих гипотез полная.
Вероятности: P(H 1) = 0,5; Р(Н 2) = 0,3; Р(Н 3) = 0,2.
2) Соответствующие условные вероятности события А равны: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (А) = = 1-0,05 = 0,95.
3) По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 = 0,971.
Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)
Рассмотрим ситуацию.
Имеется полная группа несовместных гипотез H 1 , H 2, … H n , вероятности которых (i = 1, 2, ... п) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности (i=1, 2, ...п). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори)?
Ответ на подобный вопрос дает формула апостериорной вероятности (формула Бейеса):
, где i=1,2, ...п.
Пример 26.
Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного комплекса (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) - 0,1. Каждый из комплексов производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому ракетному комплексу?
Решение.
1) До опыта возможны четыре гипотезы:
H 1 = А В - самолет поражен 1 -м комплексом и самолет поражен 2-м комплексом (произведение соответствует логическому «и»),
H 2 = А В - самолет поражен 1 -м комплексом и самолет не поражен 2-м комплексом,
H 3 = А В - самолет не поражен 1 -м комплексом и самолет поражен 2-м комплексом,
H 4 = А В - самолет не поражен 1 -м комплексом и самолет не поражен 2-м комплексом.
Эти гипотезы образуют полную группу событий.
2) Соответствующие вероятности (при независимом действии комплексов):
Р(H 1) = 0,2 0,1 = 0,02;
Р(H 2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;
Р(Н 3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;
Р(H 4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.
3) Так как гипотезы образуют полную группу событий, то должно выполняться равенство = 1.
Проверяем: Р(H 1) + Р(Н 2) + Р(H 3) + Р(H 4) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, таким образом, рассматриваемая группа гипотез верна.
4) Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут: (С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H 1 , предполагает два попадания:
(С) = 1; (С) = 1.
(С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H 4 предполагает отсутствие попаданий. Следовательно, гипотезы H 1 , и H 4 отпадают.
5)Вероятности гипотез H 2 и H 3 вычисляем по формуле Бейеса:
0,7, 
0,3.
Таким образом, с вероятностью приблизительно 70% (0,7) можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому ракетному комплексу.
5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины
Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.
Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.
Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной .
Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.
Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .
Итак, примерами случайных величин могут быть:
1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:
2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;
3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;
4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;
5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;
6) рост случайно взятого человека.
Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а , b ).
Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).
Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.
Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называютзаконом распределения дискретной случайной величины. , …, Х=
Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.
Пример 27. Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов.
Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 – выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны . Т.е. вероятности, с которыми случайная величина принимает значения 0 и 1, равны . Ряд распределения имеет вид:
| X | ||||
| p |
Если вы играете в покер продолжительное время, то могли заметить, что иногда за столами происходят раздачи, которые кажутся далекими от реальности и не поддаются математическим законам. В этом материале мы расскажем вам о покерных вероятностях различного характера.
Теория вероятности играет в покере огромное значение. Покер – это игра, которая основана на шансах, вероятностях и . Игнорирование и незнание покерной математики в конце концов приведет любого незадачливого игрока к финансовому краху. На коротком промежутке времени удача может играть важную роль, но чем дольше вы будете играть, тем важнее становятся покерные математические вероятности.
В большинстве случаев вы можете определить свои шансы, используя элементарную арифметику, а также благодаря специальным и . Понимание покерных вероятностей позволит вам выигрывать чаще игроков, которые слепо надеются на удачу.
Игроки не играют в покер «в вакууме», каждый игрок должен отталкиваться от диапазона своего оппонента и рассчитывать свои шансы на победы исключительно против конкретного соперника. В таблице ниже мы приведем вам вероятности на победу против различных диапазонов рук.
Вероятности определенных префлоп ситуаций
Теперь давайте рассмотрим вероятность различных событий при розыгрыше различных .
Новички часто переоценивают ценность стартовых рук, например, . Как вы можете заметить, мастевые карты не попадают во флеш достаточно часто. Также и карманные пары попадают в сет лишь в 12% случаев, поэтому разыгрывать маленькие карманные карты не всегда выгодно.
В этой части материала мы расскажем вам о математических вероятностях на составление различных .
Как вы можете видеть, роял-флеш - это самая редкая и самая сильная покерная комбинация. Вероятность собрать роял-флеш в покере равна 1 к 649 740. Шанс поймать эту комбинацию с флопа, имея карманные бродвейные карты, равна 0,0008%. Если на доске лежит потенциальный роял-флеш, то вероятность, что он соберется на терне равна 2%, а до ривера - 4%.
Кулер – это ситуация за покерным столом, когда игрок проигрывает раздачу не из-за собственных ошибок, а из-за неудачного стечения обстоятельств и более сильной руки оппонента. Это классический , который используют в своем лексиконе профессиональные покеристы.
Короли в тузы
С тузами вам нечего бояться до флопа, но если вы получили карманных королей, то всегда можно опасаться тузов у соперников. Но будут ли такие кулера происходить достаточно часто. Если вы играете хедз-ап, то ваш оппонент получит карманных тузов лишь один раз из 220 рук. Но за фулл-ринг столом против 8 оппонентов шансы на то, что кто-то получит тузов против ваших карманных королей намного выше. Вероятность этого события составляет 1 к 25.
Дамы в короли (тузы)
Дамы являются намного более уязвимой рукой, чем короли. Чаще всего вы будете впереди с ними префлопе, но не отбрасывайте вероятность того, что кто-то из ваших оппонентов получил королей или тузов. За полным столом вероятность этого события составляет 1 к 12. Рейз, ре-рейз и олл-ин перед вами свидетельствуют о том, что кто-то из ваших оппонентов получил монстра и вам лучше сбросить своих дам.
Важные вероятности для высоких карманных пар
Вероятность получить сет в сет
Теперь поговорим о ситуациях постфлоп кулеров. Как вы уже знаете, вероятность получить сет с карманной парой на флопе равна 12% или 1 к 8. Но событие, которого боится множество покеристов, это получить сет на флопе против сета сильнее. Если два игрока имеют карманную пару, то ситуация, при которой оба игрока попадут в сет на флопе, будет происходить один раз на сто флопов.
Вероятность получить каре в каре
Перейдем от сета к еще более сильной комбинации. Вероятность собрать каре, когда у вас карманная карта и сет с флопа равна 1 к 123.
Если вероятность получить сет в сет не слишком велика, то вероятность ситуации, когда в одной раздаче два игрока соберут каре равна 1 к 39 000 в хедз-апе и 1 к 313 000 раздач за полным столом. У большинства игроков в покер это событие произойдет лишь один раз за всю карьеру.
Уверенное знание покерных шансов и вероятностей поможет вам выгодно перестраивать и тактику вовремя игры, а само понимание математических принципов даст вам эмоциональную стабильность, чтобы играть в свою лучшую игру.
Пример 1.
В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P 1 – выпал герб, P 2 - иначе
b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B 1 – из первой урны, B 2 – из второй урны
,
Пример 2.
В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)
б) Вытащили, где все черные
в) вытащили вариант, где все белые или/и черные
- хотя бы один из них белый
P а +P б +P в = 
Пример 3
. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A 1) – вынули белый шар
P(A 2) – вероятность того, что второй шар тоже белый
P(A) – подряд выбрали белые шары
Пример 3а
. В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022
Пример 4.
Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) - ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, - вынули из других
C 1 – вероятность появления белого шара в 9 ур.
С 2 – вероятность появления белого шара, где их 5
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Пример 5.
20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – первый цилиндр, Ц 2 – второй цилиндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хотя бы один цилиндр
K 1 – первый конусообр.
K 2 - второй конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;
с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)
д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Пример 6.
В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – вероятность бракованных изделий
q – вероятность стандартных деталей
n=3, три детали
б) две из трех деталей бракованных P(2)
в) хотя бы одна стандартная
P(0)-нет бракованных
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной
Пример 7
. В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й - 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P ББ 1 =
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P БЧ =
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P ЧБ =
Итого: P БЧ 1 =
в) вынули за подряд 2 черных шара
P ЧЧ 1 =
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар
P БЧ 2 P ББ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).
Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:
Ответ: P = 0.54
Пример 7а
. Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Пример 7б
. В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Пример 7в . В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.
Решение.
Событие А - одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9
Событие А произошло. Событие В - из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В - они оказались одного цвета.
Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252
P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Пример 7г . В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем - 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?
Решение.
A - событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
H1 - вытащенный шарик из первого ящика,
H2 - вытащенный шарик из второго ящика,
H3 - вытащенный шарик из третьего ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2
Пример 8
. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава H1), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом - по 4 красных шара (это ящик состава H2). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.
Пример 9
. В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P б (2) = P 2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.
Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:
Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:
б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.
Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:
Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:
P 2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.
P ч (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259
в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.
Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:
Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:
Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.
P к (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P б (2) + P ч (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138
Пример 10
. В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А - из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.
Пример 11
. В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m . Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1))
в) Вытащили два новых мяча, при условии P3: поскольку ранее для первой игры не использовали новых мячей, то для второй игры их количество не изменилось g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1))
Полная вероятность P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Ответ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Пример 12
. В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар - белый?
Решение
.
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А - извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546
Пример 13
. В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = 1 / 3
Тогда P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) черный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = 1 / 3
Тогда P(A|H=Ч)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111
Пример 14
. Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение.
Пусть событие A1 - из первой урны вынут красный шар; A2 - из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна
Пример 15
. Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение.
Пусть событие A 1 - первая вынутая карта красной масти. Событие A 2 - вторая вынутая карта красной масти. B - обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A 1 , и событие A 2 , то B = A 1 · A 2 . События A 1 и A 2 зависимые, следовательно, P(B) :
, 
Отсюда 
Пример 16
. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение.
Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 - черный цвет; 3 - красный цвет. Пусть событие A i - из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B j - из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A - оба шара одного цвета.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . События A i и B j независимые, а A i · B i и A j · B j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =
Пример 17
. Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение
.
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т.е. третий шар будет черным, а первые два - белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Теория вероятностей
В группе 12 юношей и 8 девушек. По журналу наудачу отобрано 5 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов ровно 3 девушек.
Количество отобранных студентов по журналу.
Вероятность выбрать наудачу девушку из всей группы.
Вероятность не выбрать наудачу девушку из всей группы (вероятность выбрать юношу).
k = 3 - количество отобранных девушек.
Вероятность того, что среди отобранных 5 студентов ровно 3 девушки.
В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу взяли 3 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная.
Количество деталей в партии.
Количество стандартных деталей в партии.
Вероятность взять наудачу одну не стандартную деталь из партии.
Вероятность не взять наудачу одну не стандартную деталь из партии (вероятность взять наудачу одну стандартную деталь из партии).
Вероятность не взять наудачу две не стандартные детали из партии (вероятность взять наудачу две стандартные детали из партии).
Вероятность не взять наудачу три не стандартные детали из партии (вероятность взять наудачу три стандартные детали из партии).
Вероятность того, что среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная.
Станок состоит из 3 независимо работающих деталей. Вероятность отказа деталей соответственно равна 0,1; 0,2; 0,15. Найти вероятность поломки станка, если для этого достаточно отказа хотя бы одной детали.
Вероятность того, что откажет 1-я деталь.
Вероятность того, что откажет 2-я деталь.
Вероятность того, что откажет 3-я деталь.
Вероятность того, что 1-я деталь не откажет.
Вероятность того, что 2-я деталь не откажет.
Вероятность того, что 3-я деталь не откажет.
Вероятность поломки станка, если для этого достаточно отказа хотя бы одной детали.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, а для второго- 0,6. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.
Вероятность того, что первый стрелок попадёт по мишени.
Вероятность того, что второй стрелок попадёт по мишени.
Вероятность того, что первый стрелок не попадёт по мишени.
Вероятность того, что второй стрелок не попадёт по мишени.
Вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.
В ящике 6 приборов, из которых 4 работающих. Наудачу взяли 3 штуки. Найти вероятность того, что все взятые приборы окажутся работающими.
Количество взятых наудачу приборов.
Вероятность взять из ящика работающий прибор.
Вероятность не взять из ящика работающий прибор.
Воспользуемся формулой Бернулли:
k = 3 - количество работающих приборов, из взятых наудачу.
Вероятность того, все взятые приборы окажутся работающими.
В первой урне 4 белых и 1 чёрный, во второй урне 2 белых и 5 чёрных шаров. Из первой во вторую переложили 2 шара, затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что выбранный из второй урны шар - чёрный.
Определимся с возможными исходами событий, при перекладывании 2-х шаров из 1-й урны во 2-ю.
Н1 - гипотеза о том что из первой урны вытащили 2 белых шара.
Н2 - гипотеза о том что из первой урны вытащили 1 белый и 1 чёрный шар.
Вероятность достать из 1-й урны чёрный шар.
Вероятность достать из 1-й урны белый шар.
Вероятность гипотезы Н1.
Вероятность гипотезы Н2.
Теперь рассмотрим вероятность события когда случилась каждая из гипотез.
Вероятность вытащить из 2-й урны чёрный шар, если случилась гипотеза Н1.
Вероятность вытащить из 2-й урны чёрный шар, если случилась гипотеза Н2.
Вероятность того, что выбранный из второй урны шар - чёрный.
Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе №1 отличного качества.
Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе №2 отличного качества.
Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе №3 отличного качества.
Вероятность вытащить из ящика, деталь изготовленную на заводе №1.
Вероятность вытащить из ящика, деталь изготовленную на заводе №2.
Вероятность вытащить из ящика, деталь изготовленную на заводе №3.
По формуле полной вероятности:
Вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.
Имеется три партии изделий по 25 изделий в каждой. Число стандартных изделий соответственно равно 20, 21, 22. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечено изделие, оказавшееся стандартным. Найти вероятность того, что оно было извлечено из 1 партии.
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь из 1-й партии стандартная.
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь из 2-й партии стандартная.
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь из 3-й партии стандартная.
Вероятность наудачу выбрать одну из трёх партий.
По формуле Бейеса:
Вероятность того, что наудачу извлеченное изделие было извлечено из 1 партии.
Два автомата производят детали. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Первый автомат производит 80% деталей отличного качества, а второй - 90%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена 1 автоматом.
теория вероятность нахождение выбор попадание
Вероятность того, что деталь, произведённая 1-м автоматом отличного качества.
Вероятность того, что деталь, произведённая 2-м автоматом отличного качества.
Так как производительность второго автомата вдвое больше, чем первого, то из 3-х условно изготовленных деталей две детали 2-го автомата и одна 1-го автомата.
Вероятность наудачу выбрать деталь, изготовленную 1-м автоматом.
Вероятность наудачу выбрать деталь, изготовленную 2-м автоматом.
По формуле Бейеса:
Вероятность того, наудачу взятая деталь отличного качества, оказалась деталь, произведенная 1-м автоматом.
Монету бросают 9 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а.) менее 4 раз; б.) не менее 4 раз.
Вероятность того, что выпадет «герб».
Вероятность того, что «герб» не выпадет.
Воспользуемся формулой Бернулли:
Количество бросков монет.
Вероятность выпадения монеты «гербом» менее 4 раз.
k = 0, 1, 2, 3 - количество раз выпадения «герба».
Вероятность выпадения монеты «гербом» 0 раз из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 1 раз из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 2 раза из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 3 раза из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» не менее 4 раз.
k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - количество раз выпадения «герба».
Вероятность выпадения монеты «гербом» 4 раза из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 5 раз из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 6 раз из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 7 раз из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 8 раз из 9.
Вероятность выпадения монеты «гербом» 9 раз из 9.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.
Вероятность рождения мальчика.
Вероятность не рождения мальчика (вероятность рождения девочки).
Количество новорождённых.
Количество рожденных мальчиков.
Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа, т.к.
Табулированная чётная функция Гаусса,
По таблице находим значение
Вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.
Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а.) не менее 75 раз и не более 90 раз; б.) не менее 90 раз.
Вероятность появления события.
Вероятность не появления события.
Общее количество испытаний.
Количество испытаний.
Количество испытаний.
По таблице находим значение
Вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.
Количество испытаний.
Количество испытаний.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа т.к.
Табулированная нечётная функция Лапласа,
По таблице находим значение
Вероятность того, что событие появится не менее 90 раз.
Дискретная случайная величина задана законом распределения:
а.) построить многоугольник распределения и найти функцию распределения F(x);
б.) Найти М(Х), Д(Х), .
Математическое ожидание.
Дисперсия.
Средне квадратическое отклонение.
Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х.
а.) найти А и функцию распределения F(x);
б.) найти М(х), Д(х),
Размещено на Allbest.ru
Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения.
контрольная работа , добавлен 23.11.2014
Анализ решений заданий по теории вероятности: определить вероятность того, что на верхних гранях двоих костей сумма очков не превосходит 12, определить среди лотерейных билетов вероятное количество выигрышных и количество бракованного товара в партии.
контрольная работа , добавлен 27.12.2010
Порядок определения степени вероятности нахождения значения из десяти возможных. Методика вычисления стандартных деталей среди проверенных с вероятностью 0.95. Оценка вероятности подъема в цене акций предприятия, а также получения прибыли на бирже.
контрольная работа , добавлен 16.10.2011
Основные понятия комбинаторики. Определение теории вероятности. Понятие математического ожидания и дисперсии. Основные элементы математической статистики. Условная вероятность как вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
реферат , добавлен 25.11.2013
Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа , добавлен 18.09.2010
Теория вероятности как наука убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Математические доказательства теории. Аксиоматика теории вероятности: определения, вероятность пространства, условная вероятность.
лекция , добавлен 02.04.2008
Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.
задача , добавлен 19.03.2011
Анализ случайных явлений, статистическая обработка результатов численных экспериментов. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
контрольная работа , добавлен 21.09.2013
Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
контрольная работа , добавлен 17.03.2011
Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
